HC 4: Kruistabellen, chi-kwadraat en odds ratio

Zijn beide variabelen categorisch (nominaal of ordinaal), dan kun je geen gemiddelden vergelijken. Je onderzoekt de samenhang dan met een kruistabel. Dit hoofdstuk behandelt kansen uit een kruistabel, statistische onafhankelijkheid, verwachte aantallen, de chi-kwadraattoets, Cramér's V als maat voor de sterkte, odds en de odds ratio, en de uitbreiding naar drie variabelen (trivariate analyse). Op het tentamen staat de kruistabelanalyse als een van de vier hoofdtechnieken, vaak met SPSS-output.

Samenhang is geen causaliteit

Er is samenhang (correlatie) tussen variabelen als combinaties van categorieën of waarden op een systematische manier samen voorkomen. Voorbeeld: werknemers die tevreden zijn over hun werk zijn over het algemeen productiever. Dat zegt nog niet dat tevredenheid productiviteit veroorzaakt; het omgekeerde of een derde factor is ook mogelijk.

Welke techniek bij welk meetniveau?

	Nominaal	Ordinaal	Interval/ratio
Nominaal	Chi-kwadraat (Cramér's V, odds ratio)	Chi-kwadraat, mediaantoets	z- of t-toets voor gemiddelden of proporties
Ordinaal		Spearmans rangcorrelatie, chi-kwadraat	Spearmans rangcorrelatie
Interval/ratio			Pearsons correlatie, regressie

Kansen uit een kruistabel

In het practicum werd een kruistabel gemaakt van leeftijdsklasse (jongere of oudere) en stemintentie (wel of niet stemmen), $N = 1004$ . Daarin: 423 jongeren, 823 mensen die gaan stemmen, en 330 jongeren die gaan stemmen.

Enkelvoudige kans: $P (jongere) = 423/1004 = 0, 421$ .
Gezamenlijke kans (doorsnede): $P (stemmen \cap jongere) = 330/1004 = 0, 329$ .
Voorwaardelijke kans: de kans op stemmen gegeven dat iemand een jongere is.

P (X ∣ Y) = \frac{P ( X \cap Y )}{P ( Y )} = \frac{330/1004}{423/1004} = \frac{330}{423} = 0, 78

Statistische onafhankelijkheid betekent dat het optreden van de ene gebeurtenis de kans op de andere niet verandert: $P (X ∣ Y) = P (X)$ . Hier is de onvoorwaardelijke kans op stemmen $823/1004 = 0, 82$ en de voorwaardelijke kans voor jongeren 0,78. Die verschillen (0,04), dus in de steekproef zijn de variabelen niet onafhankelijk. Of dat verschil groot genoeg is om ook in de populatie te bestaan, beslis je met de chi-kwadraattoets.

Conventie bij het lezen: zet de onafhankelijke variabele in de kolommen, bereken kolompercentages en vergelijk die over de rijen. Bij het R&D-voorbeeld uit het college: $P (alleen ontwikkeling) = 84/196 = 0, 429$ .

Verwachte aantallen

Het verwachte aantal in een cel is het aantal dat je zou verwachten als er geen samenhang is (H0 waar):

E_{ij} = \frac{rijtotaal _{i} \times kolomtotaal _{j}}{N}

Voorbeeld. Een cel met rijtotaal 427 en kolomtotaal 439 in een tabel met $N = 814$ : $E = 427 \times 439/814 = 230, 3$ .

De chi-kwadraattoets op samenhang

De $χ^{2}$ -toetsingsgrootheid telt over alle cellen op hoeveel de waargenomen aantallen $f_{ij}$ afwijken van de verwachte $E_{ij}$ :

χ^{2} = alle cellen \sum \frac{( f _{ij} - E _{ij} ) ^{2}}{E _{ij}}

Hoe groter $χ^{2}$ , hoe groter het verschil tussen wat je ziet en wat je bij onafhankelijkheid zou verwachten. De vrijheidsgraden zijn

df = (r - 1) (c - 1)

met $r$ rijen en $c$ kolommen. De $χ^{2}$ -verdeling is scheef naar rechts en kan niet negatief worden; het verwerpingsgebied ligt altijd rechts. Kritieke waarden bij $α = 0, 05$ : 3,84 bij df = 1 en 7,81 bij df = 3. Bij $α = 0, 01$ en df = 3 is het 11,34.

$H_{0}$ : er is geen samenhang (de variabelen zijn statistisch onafhankelijk, $χ^{2} = 0$ in de populatie).
$H_{a}$ : er is wel samenhang ( $χ^{2} > 0$ ).

Rekenvoorbeeld (practicum, 2 bij 2). Waargenomen 93, 88, 330 en 493; verwacht 76,3, 104,7, 346,7 en 476,3.

χ^{2} = \frac{( 93 - 76 , 3 ) ^{2}}{76 , 3} + \frac{( 88 - 104 , 7 ) ^{2}}{104 , 7} + \frac{( 330 - 346 , 7 ) ^{2}}{346 , 7} + \frac{( 493 - 476 , 3 ) ^{2}}{476 , 3} \approx 7, 71

Groter dan 3,84 (df = 1), dus H0 verwerpen: leeftijdsklasse en stemintentie hangen samen. SPSS gaf 7,749 met Sig. 0,005.

Voorbeeld uit het college. Type R&D-activiteit (alleen ontwikkeling of ook onderzoek) en land (Nederland of Verenigd Koninkrijk): $χ^{2} = 6, 769$ , Sig. = 0,009, df = 1. Groter dan 3,84: H0 verwerpen. Het type R&D verschilt tussen de landen.

Representativiteitstoets (goodness of fit)

Met dezelfde formule toets je of de verdeling van één variabele in de steekproef overeenkomt met een bekende verdeling in de populatie. De verwachte aantallen zijn dan de populatiepercentages maal $n$ , en $df = k - 1$ met $k$ categorieën. In het practicum: verwacht werd 15%, 30%, 50% en 5% over vier sociale klassen, $n = 991$ , dus verwacht 148,65, 297,30, 495,5 en 49,55. $χ^{2} = 14, 88$ tegen een kritieke waarde van 11,34 (df = 3, $α = 0, 01$ ): het bestand is niet helemaal representatief. In SPSS: Analyze, Nonparametric Tests, Legacy Dialogs, Chi-Square met Expected Values.

Sterkte van de samenhang: Cramér's V

De $χ^{2}$ -waarde zelf zegt weinig over de sterkte, omdat ze meegroeit met $N$ . Cramér's V standaardiseert de samenhang tot een waarde tussen 0 (geen) en 1 (perfect):

V = \frac{χ ^{2}}{N \cdot ( min ( r , c ) - 1 )}

Vuistregels uit het college: rond 0,10 zwak, rond 0,30 matig (medium), vanaf 0,50 sterk. In de practicumuitwerkingen wordt een V onder 0,20 als "vrij zwak" omschreven. Het R&D-voorbeeld had $V = 0, 186$ : tussen zwak en matig.

Odds en odds ratio

De odds is de verhouding tussen de kans dat iets wel gebeurt en de kans dat het niet gebeurt:

odds_{A} = \frac{P ( A )}{1 - P ( A )}

Een kans van 0,82 om te stemmen geeft odds van $0, 82/0, 18 = 4, 56$ : stemmen komt 4,56 keer zo vaak voor als niet stemmen. De odds ratio vergelijkt de odds van twee groepen:

O R = \frac{odds _{A}}{odds _{B}}

$O R = 1$ : geen verschil tussen de groepen.
$O R > 1$ : de uitkomst komt in groep A relatief vaker voor.
$0 < O R < 1$ : de uitkomst komt in groep A relatief minder vaak voor.

Voorbeeld uit het college (R&D). In Nederland doet 64,2% ook onderzoek en 35,8% niet: odds $64, 2/35, 8 = 1, 793$ . In het VK 45,2% tegen 54,8%: odds $0, 825$ . Odds ratio $1, 793/0, 825 = 2, 17$ : de odds dat een Nederlands bedrijf ook onderzoek doet zijn ruim twee keer zo groot als bij een Brits bedrijf.

Voorbeeld uit het practicum. Odds op stemmen: ouderen $0, 849/0, 151 = 5, 62$ , jongeren $0, 78/0, 22 = 3, 55$ . OR ouderen tegen jongeren: $5, 62/3, 55 = 1, 59$ ; omgekeerd $3, 55/5, 62 = 0, 63$ . Beide vertellen hetzelfde verhaal vanuit een andere groep. Een odds ratio is een beschrijvende maat zonder toets: alleen de $χ^{2}$ -toets zegt of de samenhang significant is.

Trivariate analyse: drie variabelen

Met een derde variabele Z kun je onderzoeken of de samenhang tussen X en Y verandert. Je splitst de kruistabel dan in subtabellen per categorie van Z en voert per subtabel een chi-kwadraattoets uit (dus twee keer een H0 en Ha). Drie modellen:

Model	Structuur	Wat je ziet in de subtabellen
Indirecte relatie (interpretatie, mediatie)	X beïnvloedt Z, Z beïnvloedt Y	Bivariaat samenhang; in beide subtabellen verdwijnt die (d% = 0)
Schijnrelatie (verklaring)	Z beïnvloedt zowel X als Y	Bivariaat samenhang; in beide subtabellen verdwijnt die
Interactie (specificatie, moderatie)	Het effect van X op Y hangt af van Z	Samenhang in de ene subtabel wel en in de andere niet, of in tegengestelde richting, of duidelijk sterker

Indirecte relatie en schijnrelatie zien er in de cijfers hetzelfde uit; het verschil zit in de theorie over de volgorde van de variabelen.

Voorbeeld uit het college. Geldt het verschil in R&D tussen de landen alleen bij sterke concurrentie in productontwikkeling? Zwakke concurrentie: $χ^{2} = 1, 481$ , Sig. = 0,224, $V = 0, 149$ , H0 niet verwerpen. Sterke concurrentie: $χ^{2} = 4, 826$ , Sig. = 0,028, $V = 0, 196$ , H0 verwerpen. De interactiehypothese wordt ondersteund: het landverschil bestaat alleen bij sterke concurrentie.

Voorbeeld uit het practicum. Sociale zelfplaatsing en stemgedrag (df = 3, kritieke waarde 7,81): bij jongeren $χ^{2} = 4, 476$ (niet significant), bij ouderen $χ^{2} = 9, 065$ (significant). Er is dus interactie met leeftijd, maar de samenhang bij ouderen is zwak ( $V = 0, 136$ ).

Voor het tentamen

Voorwaardelijke kans: $P (X ∣ Y) = P (X \cap Y) / P (Y)$ ; onafhankelijk als $P (X ∣ Y) = P (X)$ .
Verwacht aantal = rijtotaal maal kolomtotaal gedeeld door $N$ .
$χ^{2} = \sum (f - E)^{2} / E$ , $df = (r - 1) (c - 1)$ ; kritiek 3,84 bij df = 1 en 7,81 bij df = 3 ( $α = 0, 05$ ).
Cramér's V geeft de sterkte (0 tot 1); $χ^{2}$ en Sig. geven alleen of er samenhang is.
Odds $= p / (1 - p)$ ; odds ratio 1 betekent geen verschil.
Trivariaat: twee aparte toetsen per categorie van Z; interactie als de samenhang in de ene groep wel en in de andere niet bestaat.

Andere hoofdstukken van Kwantitatieve Methoden 1

Test jezelf met oefenvragen