HC 3: Hypothesetoetsing en de one-sample t-toets

Met een betrouwbaarheidsinterval schat je een populatiewaarde. Met een hypothesetoets beslis je of de data een bepaalde bewering over de populatie ondersteunen. Is de actiebereidheid voor de natuur in twintig jaar veranderd? Gaan universitair opgeleiden eerder het huis uit dan de gemiddelde Nederlander? Dit hoofdstuk legt het stappenplan uit dat in de hele cursus terugkomt: hypothesen formuleren, een significantieniveau kiezen, kritieke waarden bepalen, een toetsingsgrootheid berekenen en een statistische en inhoudelijke conclusie trekken. Daarna pas je het toe op de eenvoudigste toets: de one-sample t-toets.

Statistische modellen: uitkomst = model + error

Elke analyse in deze cursus volgt hetzelfde idee. Een statistisch model is een vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid. Wat het model niet verklaart, is de error (afwijking):

Het simpelste model is het gemiddelde: je voorspelt voor iedereen $\bar{x}$. De kwaliteit (fit) van een model meet je met de gekwadrateerde afwijkingen tussen de waargenomen waarden en het model. Een toets vergelijkt steeds wat het model verklaart (signaal, effect, systematische variantie) met wat het niet verklaart (ruis, error, onsystematische variantie). Toetsingsgrootheden als z, t, F en ${\chi }^2$ zijn allemaal varianten van die verhouding.

Hypothesen: H0 en Ha

Een hypothese is een (theoretische) veronderstelling over een variabele of over een relatie tussen variabelen. Voor een toets vertaal je die in twee statistische hypothesen:

• Nulhypothese H0: de status quo, "geen verschil" of "geen effect". Bijvoorbeeld $H_0:\mu =2,5$.
• Alternatieve hypothese Ha (of H1): wat je verwacht of wilt aantonen; een afwijking van de status quo. Bijvoorbeeld $H_a:\mu \ne 2,5$.

De twee hypothesen moeten elkaar uitsluiten en samen uitputtend zijn: precies één van beide is waar. Je toetst altijd H0; je verwerpt die of je verwerpt die niet. "H0 aannemen" bestaat strikt genomen niet: niet verwerpen betekent alleen dat er onvoldoende bewijs is.

Eenzijdig of tweezijdig

• Tweezijdig (ongericht): je verwacht een verschil maar niet in welke richting. $H_a:\mu \ne {\mu }_0$. Het verwerpingsgebied ligt in beide staarten, elk $\alpha /2$.
• Eenzijdig (gericht): je verwacht een verschil in een bepaalde richting. $H_a:\mu >{\mu }_0$ (rechtszijdig) of $H_a:\mu <{\mu }_0$ (linkszijdig). Het hele $\alpha$ ligt in één staart.

De richting komt uit de theorie, vóór je naar de data kijkt. Eerst de analyse draaien en daarna de hypothese kiezen die het beste uitkomt is geen correcte werkwijze. In de practicumopdracht leidde dezelfde t-waarde van −2,483 bij $\alpha =0,01$ eenzijdig tot verwerpen (kritieke waarde −2,326) en tweezijdig tot niet verwerpen (kritieke waarden ±2,576).

Significantieniveau en fouten

Het significantieniveau $\alpha$ is de kans die je accepteert om H0 ten onrechte te verwerpen. Meestal 0,05, soms 0,10 of 0,01. Er zijn twee soorten fouten:

• Type I-fout: een effect "vinden" dat er niet is (vals alarm). Kans $\alpha$.
• Type II-fout: een effect dat er wel is over het hoofd zien. Kans $\beta$.
• Power (onderscheidingsvermogen) $=1-\beta$: de kans om een bestaand effect ook werkelijk als significant te vinden.

De twee foutkansen hangen samen: maak je $\alpha$ kleiner, dan wordt $\beta$ in het algemeen groter en verliest de toets power. Power neemt toe met de steekproefomvang. Bij hele grote steekproeven worden kleine verschillen daardoor al snel significant; significant betekent dan nog niet inhoudelijk belangrijk.

Het stappenplan

Kritieke waarden en het verwerpingsgebied

Onder H0 is de steekproevenverdeling bekend. Het verwerpingsgebied is het deel van die verdeling met onwaarschijnlijke uitkomsten: samen precies $\alpha$. De kritieke waarde is de grens van dat gebied.

Dit zijn z-waarden, die je bij grote steekproeven ook voor t mag gebruiken. Bij kleine steekproeven zoek je de t-waarde op met de juiste vrijheidsgraden.

De toetsingsgrootheid

Voor een gemiddelde druk je het verschil tussen het steekproefgemiddelde en de waarde onder H0 uit in standaardfouten:

Bij een grote steekproef heet dit ook z; SPSS noemt het altijd t, met $df=n-1$.

Drie manieren om te beslissen

1. Toetsingsgrootheid tegen kritieke waarde: ligt de berekende t (in absolute zin) voorbij de kritieke waarde, dan verwerp je H0.
2. p-waarde tegen $\alpha$: de p-waarde (overschrijdingskans, in SPSS "Sig.") is de kans om onder H0 een uitkomst te vinden die minstens zo extreem is als de gevonden uitkomst. Is $p<\alpha$, dan verwerp je H0. SPSS geeft de tweezijdige p-waarde; bij een eenzijdige toets deel je die door 2 (mits het verschil de verwachte richting heeft).
3. Betrouwbaarheidsinterval van het verschil: SPSS geeft een interval voor $\bar{x}-{\mu }_0$. Bevat dat interval de 0 niet, dan verwerp je H0 (tweezijdig, bij het bijbehorende niveau).

Let op de juiste interpretatie: de p-waarde is niet de kans dat H0 waar is, maar de kans op deze (of een extremere) uitkomst als H0 waar zou zijn.

Uitgewerkt voorbeeld: actiebereidheid (college)

In 2002 scoorden Nederlanders gemiddeld 2,5 op een schaal voor actiebereidheid voor de natuurlijke omgeving. Is dat twintig jaar later veranderd?

1. $H_0:\mu =2,5$; $H_a:\mu \ne 2,5$ (tweezijdig, want "veranderd").
2. $\alpha =0,05$, $n=297$, dus kritieke waarden ±1,96.
3. Gevonden: $\bar{x}=2,78$, $s=0,78459$, $SE=0,78459/\sqrt{297}=0,04553$.

Statistische beslissing: $6,175>1,96$ en $p<0,001<0,05$, dus H0 verwerpen. Inhoudelijke conclusie: er is een aanwijzing dat Nederlanders nu gemiddeld actiebereider zijn voor de natuurlijke omgeving dan in 2002.

Uitgewerkt voorbeeld: het huis uit (practicum)

Gemiddeld gaan Nederlanders op 21,60 jaar het huis uit. Gaan universitair opgeleiden eerder?

• $H_0:\mu =21,60$; $H_a:\mu <21,60$ (linkszijdig).
• $\alpha =0,01$ eenzijdig: kritieke waarde $-2,326$.
• WO-steekproef: $\bar{x}=20,27$, $s=3,589$, $n=95$, dus $SE=3,589/\sqrt{95}=0,368$.
• $z=(20,27-21,60)/0,368=-3,61$. Dit ligt voorbij $-2,326$: H0 verwerpen. Universitair opgeleiden gaan eerder het huis uit.

Een tweede vraag in dezelfde opdracht: verschilt de leeftijd waarop WO'ers een vaste relatie krijgen van het landelijke gemiddelde van 24,04 (tweezijdig, $\alpha =0,10$)? SPSS geeft $\bar{x}=27,13$, $SE=0,898$, $t=3,44$, Sig. (2-tailed) = 0,001 en een 90%-interval van het verschil van 1,60 tot 4,59. Alle drie de methoden geven hetzelfde oordeel: H0 verwerpen. Bij een strenger $\alpha =0,01$ worden de kritieke waarden ±2,576, maar de toetsingsgrootheid verandert niet; de conclusie blijft hier verwerpen.

In SPSS voer je deze toets uit via Analyze, Compare Means, One-Sample T Test. Bij Test Value vul je de waarde onder H0 in (hier 24,04); dat is iets anders dan de t-waarde die uit de toets komt.