HC 2: Betrouwbaarheidsintervallen

Een steekproefgemiddelde is een puntschatter: één getal als beste gok voor het populatiegemiddelde. Maar zo'n getal zegt niets over hoe zeker je bent. Een betrouwbaarheidsinterval (BI, confidence interval, CI) geeft een marge rond de schatting waarbinnen de populatiewaarde met een gekozen betrouwbaarheid ligt. In dit hoofdstuk leer je intervallen berekenen voor een gemiddelde (met z bij grote en t bij kleine steekproeven) en voor een proportie, en je leert wat de breedte van een interval bepaalt. Dit is een vast onderdeel van het eerste deel van het tentamen.

Puntschatter en intervalschatter

Een puntschatter is één waarde, bijvoorbeeld $\overset{x}{ˉ}$ als schatting van $μ$ of $\overset{p}{^}$ als schatting van een populatieproportie. In de practicumopdracht was 22,08% van de respondenten hoog inkomen: dat is een puntschatter. Je mag niet zonder meer aannemen dat het percentage in de populatie precies hetzelfde is. Een intervalschatter geeft een ondergrens en een bovengrens en een betrouwbaarheidsniveau.

Het idee achter het interval

Uit het vorige hoofdstuk weet je dat steekproefgemiddelden (bij voldoende grote $n$ ) normaal verdeeld zijn rond $μ$ met standaardfout $S E = s / n$ . In 95% van alle steekproeven ligt $\overset{x}{ˉ}$ dus binnen 1,96 standaardfouten van $μ$ . Draai je dat om, dan bevat het interval " $\overset{x}{ˉ}$ plus en min 1,96 standaardfouten" in 95% van alle steekproeven de echte $μ$ .

Definitie: betrouwbaarheidsinterval

Een interval rond een steekproefstatistiek dat bij herhaald steekproeftrekken in een vast percentage van de gevallen (bijvoorbeeld 95%) de onbekende populatieparameter bevat. Het percentage heet het betrouwbaarheidsniveau $1 - α$ ; $α$ is de kans dat het interval de parameter mist, verdeeld over twee staarten van elk $α /2$ .

Gangbare niveaus: 90% ( $α = 0, 10$ ), 95% ( $α = 0, 05$ ) en 99% ( $α = 0, 01$ ).

Interval voor een gemiddelde bij een grote steekproef (z)

\overset{x}{ˉ} \pm z_{α /2} \cdot S E met S E = \frac{s}{n}

De z-waarden: 1,645 bij 90%, 1,96 bij 95% en 2,576 bij 99%. Het stuk $z_{α /2} \cdot S E$ heet de foutmarge (margin of error).

Voorbeeld uit het college (Pink Floyd, $n = 35$ ). $\overset{x}{ˉ} = 208, 17$ seconden, $s = 122, 99$ .

S E = \frac{122 , 99}{35} = 20, 79

208, 17 \pm 1, 96 \times 20, 79 = 208, 17 \pm 40, 75

Het 95%-interval loopt van 167,42 tot 248,92 seconden. (Op de collegeslide staat als ondergrens 167,62; de juiste uitkomst van de berekening is 167,42.) Merk op dat de echte $μ = 266, 78$ hier buiten het interval valt: dit was een van de 5% steekproeven die ernaast zitten. Dat kan, en het laat zien dat 95% betrouwbaarheid geen garantie is.

Voorbeeld uit de practicumopdracht. Van 390 mensen die vrijwilligerswerk doen is het gemiddelde 11,46 uur met $s = 14, 429$ . $S E = 14, 429/ 390 = 0, 731$ . Het 90%-interval is $11, 46 \pm 1, 645 \times 0, 731 = 11, 46 \pm 1, 20$ , dus van 10,26 tot 12,66 uur. Het 99%-interval ( $z = 2, 576$ ) loopt van 9,58 tot 13,34 uur en is breder.

Interval voor een gemiddelde bij een kleine steekproef (t)

Bij $n < 30$ en onbekende $σ$ vervang je de z-waarde door een t-waarde met $n - 1$ vrijheidsgraden:

\overset{x}{ˉ} \pm t_{α /2, n - 1} \cdot S E

Voorbeeld uit het college (Pink Floyd, $n = 20$ ). $\overset{x}{ˉ} = 234, 40$ , $s = 82, 73$ , $df = 19$ . De t-tabel geeft bij 95% tweezijdig en 19 vrijheidsgraden $t = 2, 093$ .

S E = \frac{82 , 73}{20} = 18, 50234, 40 \pm 2, 093 \times 18, 50 = 234, 40 \pm 38, 72

Het 95%-interval loopt van 195,68 tot 273,12 seconden.

Voorbeeld uit de practicumopdracht. Een steekproef van 25 heeft $\overset{x}{ˉ} = 14, 68$ en $s = 19, 435$ . $S E = 19, 435/5 = 3, 887$ . Bij 90% en $df = 24$ is $t = 1, 711$ . Interval: $14, 68 \pm 6, 65$ , van 8,03 tot 21,33 uur. Vergelijk met het interval bij $n = 390$ (10,26 tot 12,66): het kleine-steekproefinterval is veel breder, vooral door de veel grotere standaardfout en in mindere mate door de iets grotere t-waarde.

Interval voor een proportie

Voor een proportie (het aandeel eenheden met een kenmerk) is de puntschatter $\overset{p}{^}$ en de standaardfout

S E_{\overset{p}{^}} = \frac{p ^ ( 1 - p ^ )}{n} \overset{p}{^} \pm z_{α /2} \cdot S E_{\overset{p}{^}}

Voorbeeld uit het college. Van 35 Pink Floyd-nummers duren er 10 langer dan vijf minuten: $\overset{p}{^} = 10/35 = 0, 286$ .

S E = \frac{0 , 286 \times 0 , 714}{35} = 0, 0760, 286 \pm 1, 96 \times 0, 076

Het 95%-interval loopt van 0,137 tot 0,435: tussen 13,7% en 43,5% van de nummers duurt langer dan vijf minuten. Een breed interval, omdat $n$ klein is.

Een dichotome variabele die je codeert als 0 en 1 heeft als gemiddelde precies de proportie enen. Daarom kun je in SPSS het interval voor een proportie ook via Explore opvragen op een 0/1-variabele (in de practicumopdracht: 95%-interval voor het aandeel hoge inkomens van 19,44% tot 24,72%).

Wat bepaalt de breedte van een interval?

Factor	Effect op de breedte	Waarom
Hoger betrouwbaarheidsniveau (bijv. 99% in plaats van 95%)	Breder	Grotere z- of t-waarde; meer zekerheid vraagt een ruimere marge
Grotere steekproef	Smaller	Kleinere standaardfout ( $n$ in de noemer)
Meer spreiding in de data (grotere $s$ )	Breder	Grotere standaardfout
t in plaats van z (kleine steekproef)	Breder	t-waarde is groter dan de z-waarde

De breedte is een maat voor de kwaliteit van een schatting: een interval van 38 tot 40 uur is bruikbaarder dan een interval van 35 tot 45 uur. In de practicumopdracht waren de 95%-intervallen voor mannen (41,67 tot 43,69) en vrouwen (27,71 tot 29,93) bijna even breed, omdat hun standaardfouten (0,517 en 0,567) vergelijkbaar waren.

Correct interpreteren

Goed: "Met 95% betrouwbaarheid ligt het gemiddelde aantal uren vrijwilligerswerk in de populatie tussen 10,26 en 12,66 uur." De methode levert in 95% van de steekproeven een interval dat $μ$ bevat.
Fout: "95% van de mensen doet tussen 10,26 en 12,66 uur vrijwilligerswerk." Het interval gaat over het populatiegemiddelde, niet over individuele scores.
Het interval gaat over de populatie waaruit de steekproef komt. Heb je alleen mensen geselecteerd die vrijwilligerswerk doen, dan geldt de uitspraak alleen voor die populatie.

Stappenplan

Bepaal $\overset{x}{ˉ}$ (of $\overset{p}{^}$ ), $s$ en $n$ .
Bereken de standaardfout.
Kies z (grote steekproef, of proportie) of t met $df = n - 1$ (kleine steekproef), bij het gevraagde niveau.
Bereken de foutmarge: kritieke waarde maal standaardfout.
Ondergrens: schatting min marge; bovengrens: schatting plus marge.
Formuleer de conclusie in woorden.

Voor het tentamen

Gemiddelde: $\overset{x}{ˉ} \pm z \cdot s / n$ bij grote $n$ ; $\overset{x}{ˉ} \pm t_{n - 1} \cdot s / n$ bij kleine $n$ .
Proportie: $\overset{p}{^} \pm z \cdot \overset{p}{^} (1 - \overset{p}{^}) / n$ .
z-waarden: 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%).
Hoger niveau maakt het interval breder; grotere $n$ maakt het smaller.
Het interval gaat over de populatieparameter, niet over individuen.
Het midden van het interval is de puntschatter; de halve breedte is de foutmarge. Met die twee gegevens kun je uit gegeven grenzen terugrekenen.

Andere hoofdstukken van Kwantitatieve Methoden 1

Test jezelf met oefenvragen